A matemática da análise técnica aplicando estatísticas a opções de ações negociadas e futuros

A matemática da análise técnica aplicando estatísticas à negociação de opções e futuros de ações
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A Matemática da Análise Técnica: Aplicando Estatística para Negociação de Ações, Opções e Futuros.
por Clifford Sherry.
A Matemática da Análise Técnica, de Clifford J. Sherry e Jason W. Sherry, promete revolucionar a forma como pensamos sobre os mercados. Neste trabalho inovador, os autores desafiam a hipótese da caminhada aleatória - a ideia de que não existe nenhuma.
A Matemática da Análise Técnica, de Clifford J. Sherry e Jason W. Sherry, promete revolucionar a forma como pensamos sobre os mercados. Neste trabalho inovador, os autores desafiam a hipótese da caminhada aleatória - a ideia de que não há nem rima nem razão para os mercados. Este texto de longo alcance descreve uma série de métodos simples, mas estatisticamente rigorosos, para analisar séries temporais. Originalmente desenvolvido para estudar o processamento de informações no sistema nervoso, eles foram modificados para analisar séries temporais economicamente importantes. Estas técnicas estatísticas permitem aos comerciantes determinar se uma série temporal é estacionária / não estacionária, independente / dependente e / ou aleatória / não aleatória. Essas questões estatísticas são vitais para os traders porque se uma série temporal é não-estacionária, independente e aleatória, é improvável que qualquer método de análise, técnico ou fundamental, funcione porque as regras subjacentes que geram a série temporal mudam de tempos em tempos sem aviso. No entanto, se uma série temporal for estacionária, dependente e não aleatória, as regras subjacentes que geram preços demonstram uma consistência que permitirá aos analistas identificar negócios de baixo risco / alta recompensa.
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A Matemática da Análise Técnica: Aplicando Estatística para Negociação de Ações, Opções e Futuros / Clifford Sherry.
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Avaliação de risco na sequência de transações com um ativo.
Neste artigo, vamos nos basear na idéia de Ralph Vince sobre o gerenciamento de volumes de posições (nesse contexto, será útil lembrar a fórmula de Kelly também). Isso também é conhecido como o ideal f. Nesta teoria, f é a fração de fundos que está em risco em todos os negócios. Segundo Vince, f é escolhido dependendo das condições de otimização (maximização) do lucro. Há dois problemas que surgem quando se usa essa teoria na negociação. Eles são:
Retirada de conta muito grande. f é conhecido apenas na história dos negócios.
Uma tentativa de resolver esses problemas é apenas um dos objetivos deste artigo. Outro problema é mais uma tentativa de introduzir a teoria da probabilidade e da estatística matemática na análise dos sistemas de negociação. Isso causará um desvio ocasional do tópico principal. Vou me abster de expor o básico. Se a necessidade surgir, o leitor pode se referir ao livro "A Matemática da Análise Técnica: Aplicando Estatísticas a Ações, Opções e Futuros Negociando".
Este artigo apresenta exemplos. Eles são apenas uma ilustração da teoria considerada no artigo, portanto, eles não são recomendados para serem usados ​​em negociações reais.
Introdução. Ausência de incerteza.
Por uma questão de simplicidade, vamos supor que o preço de um ativo exprima o valor de sua unidade nas unidades de capital e não o contrário. A etapa de volume mínimo é um valor fixo nas unidades de ativo. O volume mínimo diferente do zero é igual a este passo. Nós usaremos um modelo de acordo simples.
Para cada negócio definido estão o seu tipo (compra / venda), o seu volume v juntamente com os preços de entrada, stop loss e exit p enter, p stop e p exit em conformidade.
volume diferente de zero v≥0 o preço de parada deve ser menor que o preço de entrada ao comprar: p stop & lt; p enter.
Vamos introduzir as seguintes notações:
C 0 - capital antes de entrar no negócio; C 1 - capital após sair do negócio; C s - capital após o stop loss ser acionado; r - a participação do capital inicial perdido quando o stop loss é acionado;
isto é C 0 −C s = rC 0.
Para o acordo do tipo buy: C 1 = C 0 + v (p exit −p enter) e C s = C 0 −v (p enter −p stop).
O mesmo para o acordo do tipo de venda: C 1 = C 0 + v (p enter-p exit) e C s = C 0 −v (p stop −p enter).
Após rearranjos simples, chegaremos a C 1 = C 0 (1 + ra) onde a = (p exit −p enter) / (p enter −p stop). Essas expressões são verdadeiras para transações de tipos de compra e venda. Vamos chamar o valor de r o risco do negócio e o valor a rentabilidade da transação.
Vamos declarar o problema de gerenciar riscos para o nosso modelo. Vamos supor que temos n lida com os rendimentos a i onde i = 1.n,. Queremos estimar riscos r i. Deve-se levar em conta que r i só pode depender dos valores conhecidos ao entrar no acordo. Geralmente, os riscos são considerados iguais entre si em que 0≤r & lt; 1. r = r max é o valor que maximiza o lucro C n = C 0 (1 + ra 1) (1 + ra 2)… (1 + ra n).
Teremos uma abordagem semelhante com algumas diferenças. Vamos levar em conta algumas restrições. Estes são o rebaixamento máximo e o rendimento médio em uma série de transações. Vamos introduzir as seguintes notações:
É sempre verdade que A 0 ≤ A e a igualdade é alcançada somente quando todos a i = A 0. Vamos considerar as restrições para r em mais detalhes.
Cn = Cn (r) & gt; 0 da qual se segue que 1 + rA 0 & gt; 0. Se A 0 ≥ − 1, então isso é verdadeiro para todos os 0≤r & lt; 1. No caso quando A 0 & lt; - 1 recebemos 0≤r & lt; - 1 / A 0. Podemos ver que uma restrição adicional a r aparece apenas quando há transações com perda de parada com escorregamento. Como resultado, a restrição será escrita como 0≤r & lt; rc onde rc = 1, se A 0 ≥ − 1 e r c = −1 / A 0 se A 0 & lt; - 1
Vamos definir o rendimento médio g como C n = C 0 (1 + gr) ^ n, portanto.
Em outras palavras, g pode ser chamado de rendimento médio do negócio em uma série em relação ao risco aceito. A função g (r) é definida durante a execução da restrição do ponto anterior. Tem uma singularidade removível no ponto r = 0: se r → 0 depois g (r) → A e podemos aceitar que g (0) = A. Pode ser mostrado que g (r) ≡A somente se todos a i = A. Se entre um i existem diferentes ent˜ao g (r) diminui quando r está aumentando. A restrição será parecida com g (r) ≥G 0 & gt; 0. A constante G 0 depende de muitas coisas - condições de comércio, preferências do negociante, etc. No modelo atual, pode-se dizer que, se G 0 & gt; A, então um conjunto de r satisfazendo a desigualdade estará vazio. Se G 0 ≤A, então nossa restrição será parecida com 0≤r≤r g onde r g é a solução da equação g (rg) = G 0. Se esta equação não tiver soluções, então r g = 1.
Para avaliar o rebaixamento máximo, vamos considerar seu valor oposto:
Esse valor pode ser chamado de ganho mínimo. É conveniente, pois é sempre positivo e finito quando a restrição especificada no primeiro ponto é atendida. É evidente que d (0) = 1. Se A 0 & lt; 0, então d (r) está diminuindo quando r está aumentando na área limitada pelo primeiro ponto. A restrição será escrita como d (r) ≥D 0, onde 0 & lt; D 0 & lt; 1. Quanto maior D 0, menor será o rebaixamento. Vamos reescrever nossa restriç˜ao como 0≤r≤r d onde r d é a soluç˜ao da equaç˜ao d (r d) = D 0 (se essa equaç˜ao n˜ao tiver soluç˜oes, ent˜ao r d = 1).
Quando a transação é inserida, o volume v não pode ter um valor arbitrário. Tem que ser divisível por algum valor Δv & gt; 0 que é v = k Δv onde o inteiro k≥0. Então, para o i th deal:
Aparentemente, a coincidência de todos os r i é altamente improvável. Consequentemente, o problema mencionado acima não possui uma solução precisa. Vamos procurar uma solução aproximada. Nós nos limitaremos a calcular um valor mínimo r v de modo que r i possa ter pelo menos um valor diferente de zero dentro de [0, r v].
Vamos também determinar uma avaliação aproximada r vr ≥ r v. Do cumprimento da restrição no ponto anterior, segue-se que C i ≥D 0 C 0 & gt; 0. Daí resulta que (note que d 0 e D 0 significam a mesma coisa):
Essa avaliação é conveniente porque tem um relacionamento mais simples com o capital. Depende apenas do valor inicial do capital.
Assumimos que o conjunto que satisfaz as três primeiras restrições não está vazio. Então será parecido com o intervalo [0, r a] onde r a = min (r c, r g, r d).
Também assumimos também que a quarta restrição também é atendida. Isso requer que r a ≥r v. Vamos considerar um problema de maximização C n = C n (r). Num caso significativo, A & gt; 0 e A 0 & lt; 0. Esta função está aumentando no intervalo [0, r max] e diminuindo no intervalo [r max, r c]. Aqui r max é o ponto estacionário da derivada de primeira ordem dC n (r) / dr = 0.
Podemos facilmente encontrar a opção que maximiza C n (r) no intervalo [0, r a]: r opt = min (r a, r max). Existem dois casos restantes: 1) A 0 ≤A≤0 e 2) 0≤ A 0 ≤A. No primeiro caso, r opt = r max = 0, e no segundo caso r max = r с e r opt = r a.
Agora, vamos considerar o caso quando o conjunto definido por restrição está vazio. Isto é possível apenas em dois casos: 1) G 0 & gt; A ou 2) r a & r; v. Nós só temos que assumir que r opt = 0.
Agora, vamos encontrar valores tendo em conta a natureza discreta dos volumes negociados. Seja R i um conjunto finito não vazio de números no intervalo [0, r a] adequado para o valor do risco r i na primeira transação. Selecione r opt, i que maximiza C n (r) em R i. Se você optar por, então, opt, i = r opt. Se r opt ∉R i, então duas situações são possíveis: 1) todos os pontos R i pertencem a um lado de r opt e 2) pontos R i pertencem a dois lados de r opt. No primeiro caso, r opt, eu serei um ponto de R i mais próximo de r opt. No segundo caso, R i será dois pontos mais próximos do r opt de cada lado. O r opt, i será o ponto em que C n (r) é maior.
Incerteza. Exemplo introdutório.
Vamos tornar o modelo considerado na introdução mais complexo. Vamos supor que conhecemos n números de um i, mas não sabemos sua ordem. Desta forma, sua permutação aleatória é permitida. Vamos ver o que vai mudar nos resultados obtidos acima. Nos dois primeiros pontos, a permutação aleatória de um i não alterará nada. Não haverá mudanças no quarto ponto se uma avaliação mais aproximada for usada.
Mudanças são possíveis no terceiro ponto. De fato, se a sequência estiver disposta de maneira que não haja valores positivos entre os negativos, o rebaixamento será máximo. Por outro lado, números positivos e negativos uniformemente mistos reduzirão o rebaixamento. O número total de permutações no caso geral é igual a n! . Este é um número muito grande com n sendo no intervalo de várias dezenas. Em teoria, podemos resolver o problema definido na introdução para cada um dos j = 1..n! permutações da sequência a i e obter um conjunto de números r d, j. Há, no entanto, um problema persistente. Nós não sabemos qual permutação selecionar. Para trabalhar com essa incerteza, precisamos implantar os conceitos e métodos da teoria das probabilidades e estatísticas matemáticas.
Também assumimos que todas as n permutações são igualmente prováveis. Então a probabilidade de cada um deles é 1 / n! . Isso desafia a medida probabilística no conjunto de eventos elementares. Agora, podemos definir a distribuição de probabilidades ρ ρd (x) = n (x) / n! para P d onde n (x) é o número de n permutações para as quais r d, j & lt; x. Neste ponto, a qualificação de restrição para o rebaixamento deve ser especificada. Juntamente com D 0 mínimo permitido, devemos especificar o nível de significância aceitável 0 & lt; & lt; 1. δ indica a probabilidade de exceder o rebaixamento do limite que consideramos insignificante. Então, podemos definir r d (δ) como o quantil δ da distribuição P ρd (x). Para encontrar uma solução aproximada para este problema, vamos gerar aleatoriamente um grande número de nt, em que 1 & lt; nt & lt; & lt; n! , n permutações. Vamos encontrar o valor r d, j para cada um deles, onde 1≤j≤n t. Então, para avaliação de rd (δ), podemos obter um quantil δ de amostra da população rd, j.
Embora este modelo seja ligeiramente artificial, ele tem seus usos. Por exemplo, podemos pegar r d, calculado para a série inicial de transações e encontrar a probabilidade p d = P ρd (r d). Obviamente, a desigualdade 0≤p d ≤1 é válida. p d perto de zero indica um grande rebaixamento causado por negócios deficitários reunidos próximos uns dos outros. Um pd próximo de um mostra que negócios lucrativos e deficitários foram uniformemente misturados. Este é o caminho não apenas para descobrir uma série de perdas em uma sequência de acordos (por exemplo, como no método Z-score), mas também um grau de sua influência sobre o rebaixamento. Outros índices dependendo de P ρd () ou de r d podem ser gerados.
Incerteza. Caso Geral.
Vamos supor que haja uma sequência de transações com yield a i, 1≤i≤n. Assumiremos também que esta sequência é uma implementação de uma sequência independente em uma população e variáveis ​​aleatórias identicamente distribuídas λ i. Vamos escrever sua função de distribuição de probabilidade como P λ (x). Supõe-se que tenha as seguintes propriedades:
Expectativa matemática positiva M λ.
Essas condições significam que o rendimento médio é positivo. Embora os negócios deficitários sejam prováveis, existe sempre a possibilidade de não perder todo o capital em um negócio, limitando o risco.
Vamos declarar o problema de identificar a magnitude do risco. Semelhante ao exemplo da parte anterior, devemos estudar uma variável aleatória ρ opt ao invés de r opt calculada na introdução. Então, tendo ajustado o nível de significância δ, calculemos r opt = r opt (δ) onde δ é um quantil da distribuição P ρ opt (x). Este sistema com este risco pode ser usado até que o rebaixamento e o rendimento médio estejam no intervalo definido. Quando eles excedem os limites do intervalo, esse sistema deve ser descartado. A probabilidade de erro não excederá δ.
A importância da pequenez de δ deve ser enfatizada. Usar o critério obtido não faz sentido quando δ se ótimo. Apenas no caso de pequenos eventos δ, dois podem estar ligados entre si: 1) o sistema não funciona devido a mudanças no mercado e 2) ou o rebaixamento é muito grande ou o rendimento é muito pequeno. Junto com o erro que já foi discutido, outro erro pode ser considerado. Quando esse erro está presente, não percebemos mudanças de mercado que afetam o rebaixamento e o rendimento de nosso sistema. Não faz sentido discutir esse erro, pois isso não afeta o rendimento do sistema.
Em nossa teoria, manifesta-se no fato de que as mudanças das distribuições P λ (x) e P ρ opt (x) não são importantes para nós. A única coisa que importa é a mudança do quantil δ P ρ opt (x). Particularmente, isso significa que não há exigência de estacionariedade para a sequência de rendimentos. Dizendo isso, precisaremos da estacionariedade para restaurar a lei da distribuição de rendimento na amostra final a i, 1≤i. Aqui, o requisito de que a distribuição não mude significativamente pode ser suficiente em vez de estacionariedade absoluta.
No final, ρ opt pode ser expresso através de λ i, embora esta seja uma relação complexa (é expressa através de outras variáveis ​​intermediárias aleatórias). Isso requer estudar variáveis ​​aleatórias definidas como funções de λ i e construir suas distribuições. Para isso, precisamos conhecer P (x). Vamos listar três variantes de quais informações sobre essa distribuição podemos ter.
Há uma expressão exata para P (x) ou existe uma maneira de fazer uma aproximação arbitrariamente próxima para o sistema de negociação sob análise. Geralmente, isso é possível somente quando há uma suposição fundada sobre o comportamento dos preços dos ativos. Por exemplo, podemos considerar a hipótese do passeio aleatório como verdadeira. Usando esta informação na negociação é dificilmente possível. As conclusões tiradas desta maneira são irrealistas e geralmente negam a possibilidade de lucro todas juntas. Isso pode ser usado de forma diferente. Usando essa hipótese, podemos construir a hipótese nula. Então, usando dados empíricos e testes de concordância, podemos descartar a hipótese ou admitir que não podemos descartá-la com nossos dados. No nosso caso, esses dados empíricos são a sequência a i, 1≤i≤n. Sabe-se que Pλ (x) pertence ou se aproxima de alguma família paramétrica de distribuições. Isso é possível quando as suposições sobre os preços dos ativos do ponto anterior não estão distantes. Naturalmente, o tipo da família de distribuição também é definido pelo algoritmo do sistema de negociação. Os valores exatos dos parâmetros de distribuição são calculados usando a sequência a i, 1≤i≤n pelos métodos de estatística paramétrica. Juntamente com a seqüência a i, 1 ≤ ≤ algumas propriedades comuns de Pλ (x) são conhecidas (ou assumidas). Por exemplo, isso pode ser uma suposição sobre a expectativa finita e a variância existentes. Nesse caso, usaremos uma função de distribuição de amostra como a aproximação de Pλ (x). Vamos construí-lo com base na mesma sequência a i, 1≤i≤n. Os métodos que usam a função de distribuição de amostra, em vez da exata, são chamados de bootstrap. Em alguns casos, não é necessário conhecer Pλ (x). Por exemplo, a variável aleatória (λ 1 + λ 2 +… + λ n) / n quando n são grandes pode ser tratada como normalmente distribuída (com variância finita λ i).
Este artigo terá uma continuação onde as suposições descritas na terceira variante serão usadas. As duas primeiras variantes serão descritas mais adiante.
Estudaremos como os cálculos realizados na introdução serão alterados. Em vez dos números absolutos A 0 e A, vamos lidar com variáveis ​​aleatórias expressas por λ i da mesma forma: Λ 0 = min (λ 1, λ 2,…, λ n) e Λ = (λ 1 + λ 2 +… + λ n) / n.
Vejamos seu comportamento assintótico no crescimento irrestrito n. Nesse caso, é sempre verdade que Λ 0 → λ min. Suponhamos que λ i tenha uma variância finita D λ. Então Λ → M λ. Como mencionado acima, podemos considerar com alta precisão que Λ é normalmente distribuído com expectativa M λ e variância D λ / n. Se os valores exatos de M λ e D λ são desconhecidos, então seus análogos de amostra calculados por um i podem ser usados. Distribuições empíricas para Λ 0 e Λ também podem ser construídas usando o bootstrap.
Antes de calcular r opt (δ) pelo método bootstrap, devemos levar em consideração os seguintes pontos sobre como os cálculos realizados na introdução serão alterados:
No primeiro ponto, devido ao comportamento assintótico de Λ 0, a avaliação pode ser aproximada ao valor r c = −1 / λ min. Para a distribuição de amostragem, λ min coincide com А0 e, portanto, tudo neste ponto permanece o mesmo.
Vamos definir n b - o número de seqüências de rendimento que serão geradas. No ciclo de execução do bootstrap, devemos iterar sobre as limitações para a magnitude do risco para cada j = 1.n b. Considerando os pontos acima, temos apenas que calcular rg (j), rd (j), rmáx (j) e r opt (j). Se o conjunto para r em algum j estiver vazio, então assuma que r opt (j) = 0.
No final do bootstrap, teremos uma matriz de valores r opt []. Tendo calculado por este arranjo o quantil δ da amostra, trate-o como a solução para o problema definido.
Conclusão.
Tudo escrito acima é apenas o começo do tema. Vou mencionar brevemente o que os seguintes artigos serão dedicados.
Para usar o modelo de negócio como uma sequência de distribuições independentes, devemos fazer algumas suposições e suposições sobre os preços dos ativos e o algoritmo de negociação. Essa teoria deve ser mais específica para alguns métodos específicos de saída do negócio, como stop-loss / take-profit fixo e trailing stop fixo. Também é necessário mostrar como essa teoria pode ser usada para construir sistemas de negociação. Vamos considerar como a teoria da probabilidade pode ser usada para construir um sistema em lacunas. Também abordaremos o uso do aprendizado de máquina.
Apêndice à introdução.
Abaixo está o texto do script r_intro. mq5 e o resultado de seu trabalho em gráficos e resultados numéricos.
rc = ,9839614287119945 rg = ,1180753714454393 rd = 0,03935845714847978 ra = ,03935845714847978 rmax = ,3148676571878383 ropt = ,03935845714847978 g (rmax) = ,1507064833125653, g (ropt) = ,2967587621877231 d (rmax) = ,3925358395456308, d (ropt) = ,9037200051227304 cn (rmax) = 4,018198063206267 , cn (ropt) = 1,416754202013712 Como você pode ver, usar r max como o valor do risco garante um lucro muito maior (300% em vez de 40%). Isto é conseguido por um rebaixamento muito maior (maior que 60% ao invés de 10%). A mudança no valor do rendimento médio também deve ser levada em consideração. Se for menor, o aumento dos custos transacionais levará à queda no lucro. Por isso, as seguintes conclusões:
Use r opt como o valor de risco neste sistema. O risco liberado neste r max - r opt pode ser usado para adicionar novos sistemas (diversificação).
Apêndice ao exemplo introdutório.
Abaixo está o texto do script r_exmp. mq5 e resultados numéricos do seu trabalho.
a amostra 0,05 quantile rd [] é igual a 0,021647 para rd = 0,039358 pd = 0,584.
A primeira linha de resultados nos diz que devemos metade do risco em comparação com o resultado obtido na introdução. Nesse caso, se o rebaixamento exceder a meta (10%), isso significará que o sistema provavelmente terá falhas e não deverá ser usado para negociação. A probabilidade de erro (sistema de trabalho é rejeitado) neste caso será δ (0,05 ou 5%). A segunda linha do resultado diz que o rebaixamento na série inicial de negócios é menor do que poderia ser em média. Deve-se notar que 30 transações podem ser insuficientes para avaliar este sistema. Portanto, seria útil realizar uma análise detalhada de um número maior de transações e ver como isso afeta os resultados.
Apêndice ao caso geral.
Abaixo está o script r_cmn. mq5 onde estamos tentando avaliar abaixo o valor n min e os resultados do trabalho do script:
Parâmetros de distribuição de amostra:
média: 0.322655 variação: 1.419552 assimetria: 0.990362 mediana: 0.023030 número de transações: 30 o valor do dlt: 0.050000 o valor G0: 0.250000.
Aproximação por distribuição normal:
quantil dlt: -0,03514631247305994; nível de significância para G0: 0.3691880511783918.
Aproximação por bootstrap:
quantil de dlt: -0,0136361; nível de significância para G0: 0,3727. número mínimo de transações nmin (aproximação por distribuição normal): não menos que 728 o valor do quantil de dlt: 0.250022.
Resulta destes resultados que r opt (δ) = 0. Isso significa que nosso critério proíbe a negociação usando esse sistema por causa dos dados ou requer o histórico de transações de maior duração. Isto é mesmo apesar dos belos gráficos no primeiro apêndice. O Bootstrap produziu quase os mesmos resultados que a aproximação por distribuição normal. Isso leva a duas perguntas. 1. Por que os resultados são tão ruins? e 2. Como podemos melhorar este sistema? Vamos tentar respondê-las.
A razão é tanto no critério usado quanto no próprio sistema. Nosso critério é muito universal. Por um lado, isso é muito bom, pois podemos usá-lo na maioria dos casos. Por outro lado, não leva em conta não apenas o sistema em questão, mas todos os sistemas que consideramos. Por exemplo, todos os nossos sistemas produzem uma distribuição com um corte no lado esquerdo e alguns deles, em teoria, podem ter uma expectativa infinita. É por isso que, como regra, todas as distribuições têm a assimetria direita e sua média é muito lentamente convergir para uma distribuição normal simétrica. O sistema em nosso exemplo tem essa distribuição distorcida. Isto é indicado pela relação de assimetria ou pelo deslocamento da expectativa para a direita a partir da mediana. Isso é esperado de um sistema seguindo a regra "corte suas perdas e deixe seus lucros valerem". Exigimos critérios usando as informações sobre um determinado sistema de negociação e sobre uma sequência de preços de ativos. Então, suposições sobre preços não podem ser feitas sem. Essas suposições não devem distorcer o quadro real. Isso significa que deveríamos estar na situação da segunda variante feita de três pontos discutidos no início da parte "Caso geral". É por isso que devemos nos concentrar nos métodos paramétricos daqui para frente. Do ponto de vista computacional, eles são mais difíceis e menos universais, mas podem ser mais precisos em cada caso particular.
Até agora, podemos concluir o seguinte. As perdas são causadas não apenas por mudanças inesperadas no comportamento dos preços dos ativos (por exemplo, a mudança da tendência). Isso pode ser causado por ruído ou volatilidade característica para eles. Os métodos que consideramos são uma das maneiras de tentar separar essas razões e reduzir sua influência. Se isso não puder ser feito para um sistema de negociação, tal sistema não é recomendado para ser usado.
Traduzido do russo por MetaQuotes Software Corp.

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C 0 - capital antes de entrar no negócio; C 1 - capital após sair do negócio; C s - capital após o stop loss ser acionado; r - a participação do capital inicial perdido quando o stop loss é acionado;
isto é C 0 −C s = rC 0.
Para o acordo do tipo buy: C 1 = C 0 + v (p exit −p enter) e C s = C 0 −v (p enter −p stop).
O mesmo para o acordo do tipo de venda: C 1 = C 0 + v (p enter-p exit) e C s = C 0 −v (p stop −p enter).
Após rearranjos simples, chegaremos a C 1 = C 0 (1 + ra) onde a = (p exit −p enter) / (p enter −p stop). Essas expressões são verdadeiras para transações de tipos de compra e venda. Vamos chamar o valor de r o risco do negócio e o valor a rentabilidade da transação.
Vamos declarar o problema de gerenciar riscos para o nosso modelo. Vamos supor que temos n lida com os rendimentos a i onde i = 1.n,. Queremos estimar riscos r i. Deve-se levar em conta que r i só pode depender dos valores conhecidos ao entrar no acordo. Geralmente, os riscos são considerados iguais entre si em que 0≤r & lt; 1. r = r max é o valor que maximiza o lucro C n = C 0 (1 + ra 1) (1 + ra 2)… (1 + ra n).
Teremos uma abordagem semelhante com algumas diferenças. Vamos levar em conta algumas restrições. Estes são o rebaixamento máximo e o rendimento médio em uma série de transações. Vamos introduzir as seguintes notações:
É sempre verdade que A 0 ≤ A e a igualdade é alcançada somente quando todos a i = A 0. Vamos considerar as restrições para r em mais detalhes.
Cn = Cn (r) & gt; 0 da qual se segue que 1 + rA 0 & gt; 0. Se A 0 ≥ − 1, então isso é verdadeiro para todos os 0≤r & lt; 1. No caso quando A 0 & lt; - 1 recebemos 0≤r & lt; - 1 / A 0. Podemos ver que uma restrição adicional a r aparece apenas quando há transações com perda de parada com escorregamento. Como resultado, a restrição será escrita como 0≤r & lt; rc onde rc = 1, se A 0 ≥ − 1 e r c = −1 / A 0 se A 0 & lt; - 1
Vamos definir o rendimento médio g como C n = C 0 (1 + gr) ^ n, portanto.
Em outras palavras, g pode ser chamado de rendimento médio do negócio em uma série em relação ao risco aceito. A função g (r) é definida durante a execução da restrição do ponto anterior. Tem uma singularidade removível no ponto r = 0: se r → 0 depois g (r) → A e podemos aceitar que g (0) = A. Pode ser mostrado que g (r) ≡A somente se todos a i = A. Se entre um i existem diferentes ent˜ao g (r) diminui quando r está aumentando. A restrição será parecida com g (r) ≥G 0 & gt; 0. A constante G 0 depende de muitas coisas - condições de comércio, preferências do negociante, etc. No modelo atual, pode-se dizer que se G 0 & gt; A, então um conjunto de r satisfazendo a desigualdade estará vazio. Se G 0 ≤A, então nossa restrição será parecida com 0≤r≤r g onde r g é a solução da equação g (rg) = G 0. Se esta equação não tiver soluções, então r g = 1.
Para avaliar o rebaixamento máximo, vamos considerar seu valor oposto:
Esse valor pode ser chamado de ganho mínimo. É conveniente, pois é sempre positivo e finito quando a restrição especificada no primeiro ponto é atendida. É evidente que d (0) = 1. Se A 0 & lt; 0, então d (r) está diminuindo quando r está aumentando na área limitada pelo primeiro ponto. A restrição será escrita como d (r) ≥D 0, onde 0 & lt; D 0 & lt; 1. Quanto maior D 0, menor será o rebaixamento. Vamos reescrever nossa restriç˜ao como 0≤r≤r d onde r d é a soluç˜ao da equaç˜ao d (r d) = D 0 (se essa equaç˜ao n˜ao tiver soluç˜oes, ent˜ao r d = 1).
Quando a transação é inserida, o volume v não pode ter um valor arbitrário. Tem que ser divisível por algum valor Δv & gt; 0 que é v = k Δv onde o inteiro k≥0. Então, para o i th deal:
Aparentemente, a coincidência de todos os r i é altamente improvável. Consequentemente, o problema mencionado acima não possui uma solução precisa. Vamos procurar uma solução aproximada. Nós nos limitaremos a calcular um valor mínimo r v de modo que r i possa assumir pelo menos um valor diferente de zero dentro de [0, r v].
Vamos também determinar uma avaliação aproximada r vr ≥ r v. Do cumprimento da restrição no ponto anterior, segue-se que C i ≥D 0 C 0 & gt; 0. Daí resulta que (note que d 0 e D 0 significam a mesma coisa):
Essa avaliação é conveniente porque tem um relacionamento mais simples com o capital. Depende apenas do valor inicial do capital.
Assumimos que o conjunto que satisfaz as três primeiras restrições não está vazio. Então será parecido com o intervalo [0, r a] onde r a = min (r c, r g, r d).
Também assumimos também que a quarta restrição também é atendida. Isso requer que r a ≥r v. Vamos considerar um problema de maximização C n = C n (r). Num caso significativo, A & gt; 0 e A 0 & lt; 0. Esta função está aumentando no intervalo [0, r max] e diminuindo no intervalo [r max, r c]. Aqui r max é o ponto estacionário da derivada de primeira ordem dC n (r) / dr = 0.
Podemos facilmente encontrar a opção que maximiza C n (r) no intervalo [0, r a]: r opt = min (r a, r max). Existem dois casos restantes: 1) A 0 ≤A≤0 e 2) 0≤ A 0 ≤A. No primeiro caso, r opt = r max = 0, e no segundo caso r max = r с e r opt = r a.
Agora, vamos considerar o caso quando o conjunto definido por restrição está vazio. Isto é possível apenas em dois casos: 1) G 0 & gt; A ou 2) r a & r; v. Nós só temos que assumir que r opt = 0.
Agora, vamos encontrar valores tendo em conta a natureza discreta dos volumes negociados. Seja R i um conjunto finito não vazio de números no intervalo [0, r a] adequado para o valor do risco r i na primeira transação. Select r opt, i which maximizes C n (r) on R i . If r opt ∈R i then r opt, i =r opt . If r opt ∉R i , then two situations are possible: 1) all points R i belong to one side from r opt and 2) points R i belong to two sides from r opt . In the first case, r opt, i will be a point from R i closest to r opt . In the second case, R i will be two points closest to the r opt on each side. The r opt, i will be the point in which C n (r) is greater.
Uncertainty. Introductory example.
Let us make the model considered in the introduction more complex. Let us assume that we know n numbers of a i but we do not know their order. This way, their random permutation is allowed. Let us see what will change in the results obtained above. In the first two points, the random permutation of a i will not change anything. There will not be any changes in the forth point if a more rough evaluation r vr is used.
Changes are possible in the third point. Indeed, if the sequence is arranged in the way so there are no positive values between negative ones, then the drawdown will be maximum. Conversely, evenly mixed positive and negative numbers will reduce the drawdown. The total number of permutations in the general case equals to n! . This is a very large number with n being in the range of several tens. In theory, we can solve the problem set in the introduction for each of j=1..n! permutations from the sequence a i and obtain a set of numbers r d, j . There is, however, a persisting issue. We do not know what permutation to select. To work with this uncertainty, we need to deploy the concepts and methods of the theory of probabilities and mathematical statistics.
We also assume that all n permutations are equally likely. Then the probability of each of them is 1/n! . This defies the probabilistic measure on the set of elementary events. Now, we can define the distribution of probabilities ρ ρd (x)=n(x)/n! for P d where n(x) is the number of n permutations for which r d, j <x . At this point, the restriction qualification for the drawdown must be specified. Along with minimal permitted D 0 , we must specify acceptable significance level 0<δ<<1 . δ indicates what probability of exceeding the threshold drawdown we consider negligible. Then, we can define r d (δ) as the δ quantile of the distribution P ρd (x) . To find an approximate solution to this problem, we are going to randomly generate a large number of n t , where 1<<n t <<n! , n permutations. Let us find the value r d, j for each of them, where 1≤j≤n t . Then, for evaluation for r d (δ) , we can take a sample δ quantile of the r d, j population.
Although this model is slightly artificial, it has its uses. For instance, we can take r d , calculated for the initial series of deals and find the probability p d =P ρd (r d ) . Obviously, the 0≤p d ≤1 inequality is valid. p d close to zero indicates a large drawdown caused by loss-making deals gathered close to each other. A pd close to one shows that profitable and loss-making deals were uniformly mixed. This is the way not only to discover a series of losses in a sequence of deals (for instance, like in the Z-score method) but also a degree of its influence on the drawdown. Other indices depending either on P ρd () or on r d can be generated.
Uncertainty. General case.
Let us assume that there is a sequence of deals with yields a i , 1≤i≤n . We will also assume that this sequence is an implementation of a sequence of independent in a population and identically distributed random variables λ i . Let us write their probability distribution function as P λ (x) . It is supposed that it has the following properties:
positive mathematical expectation M λ.
These conditions mean that the average yield is positive. Although, loss-making deals are probable, there is always a possibility not to loose all capital in one deal by limiting the risk.
Let us state the problem of identifying the magnitude of the risk. Similar to the example in the previous part, we should study a random variable ρ opt instead of r opt calculated in the introduction. Then, having set the significance level δ , let us calculate r opt =r opt (δ) where δ is a quantile of the P ρ opt (x) distribution. This system with this risk can be used until the drawdown and the average yield are in the set range. When they exceed the range boundaries, this system should be discarded. The probability of error will not exceed δ .
The importance of smallness of δ should be emphasized. Using the obtained criterion does not make any sense when δ if great. Only in case of small δ two events can be believe to be connected with each other: 1) the system does not work due to the changes on the market and 2) either the drawdown is too great or the yield is too small. Along with the error that has already been discussed, another error can be considered. When that error is present, we do not notice market changes that affect the drawdown and the yield of our system. There is not point to discuss this error as it does not affect the yield of the system.
In our theory, it manifests in the fact that the changes of the P λ (x) and P ρ opt (x) distributions are not important for us. The only thing that matters is the change of the δ quantile P ρ opt (x) . Particularly, this means that there is no stationarity requirement to the sequence of yields. Saying that, we will need stationarity for restoring the law of yield distribution on the final sample a i , 1≤i≤n . Here, the requirement that the distribution does not change significantly may be sufficient instead of absolute stationarity.
In the end, ρ opt can be expressed through λ i , though this is a complex relationship (it is expressed though other random intermediary variables). This calls for studying random variables defined as functions of λ i and build their distributions. For that, we need to know Pλ(x) . Let us list three variants of what information about this distribution we can have.
There is an exact expression for Pλ(x) or there is a way to make an arbitrarily close approximation for the trading system under analysis. Usually, this is possible only when there is a founded assumption about the behavior of the asset prices. For instance, we can consider the random walk hypothesis to be true. Using this information in trading is hardly possible. Conclusions drawn this way are unrealistic and usually deny the possibility of profit all together. This can be used differently. Using this hypothesis, we can build the null hypothesis. Then, using empirical data and tests for concordance, we can either discard the hypothesis or admit that we can not discard it with our data. In our case, such empirical data is the sequence a i , 1≤i≤n . Pλ(x) is known to belong or coming close to some parametric family of distributions. This is possible when the assumptions about the asset prices from the previous point are not far off. Of course, the type of the distribution family is defined also by the algorithm of the trading system. Exact values for distribution parameters are calculated using the sequence a i , 1≤i≤n by the methods of parametric statistics. Along with the sequence a i , 1≤i≤n some common properties of Pλ(x) are known (or assumed). Foe example, this may be a supposition about existing finite expectation and variance. In such case, we will use a sample distribution function as the approximation for Pλ(x). We will build it based on the same sequence a i , 1≤i≤n . Methods using the sample distribution function instead of the exact one are called bootstrap. In some cases, it is not necessary to know Pλ(x) . For instance, the random variable (λ 1 +λ 2 +…+λ n )/n when n are great can be treated as distributed normally (with finite variance λ i ).
This article will have a continuation where suppositions described in the third variant will be used. The first two variants will be described further.
We will study how the calculations carried out in the introduction will change. Instead of absolute numbers A 0 and A , we will deal with random variables expressed through λ i the same way: Λ 0 =min(λ 1 , λ 2 , …, λ n ) and Λ=(λ 1 +λ 2 +…+λ n )/n .
Let us look at their asymptotic behavior at unrestrictedly growing n. In such a case, it is always true that Λ 0 →λ min . Let us assume that λ i has a finite variance D λ . Then Λ→M λ . As mentioned above, we can consider with high accuracy that Λ is normally distributed with expectation M λ and variance D λ /n . If exact values of M λ and D λ are unknown, then their sample analogs calculated by a i can be used. Empiric distributions for Λ 0 and Λ can be also built using bootstrap.
Before calculating r opt (δ) by the bootstrap method, we should take into account the following points about how the calculations carried out in the introduction will change:
In the first point, due to the asymptotic behavior of Λ 0 the evaluation can be roughened to the value r c =−1/λ min . For the sampling distribution, λ min coincides with А0 and, therefore, everything in this point stays the same.
Let us set n b — the number of yield sequences which will be generated. In the cycle of carrying out the bootstrap, we are to iterate over the limitations for the magnitude of the risk for each j=1..n b . Considering the points above, we only have to calculate r g (j), r d (j) , r max (j) and r opt (j) . If the set for r at some j is empty, then assume that r opt(j) =0 .
At the end of bootstrap, we will have an array of values r opt [] . Having calculated by this array the sample δ quantile, treat it as the solution to the set problem.
Conclusão.
Everything written above is just the beginning of the theme. I am going to briefly mention what the following articles will be dedicated to.
To use the deal model as a sequence of independent distributions, we should make some assumptions and suppositions about the asset prices and the trading algorithm. This theory must be made more specific for some particular methods of exiting the deal such as fixed stop-loss/take-profit and fixed trailing stop. It is also necessary to show how this theory can be used for building trading systems. We will consider how the probability theory can be used for building a system on gaps. We will also touch on the use of machine learning.
Appendix to the introduction.
Below is the text of the r_intro. mq5 script and the result of its work in charts and numerical results.
rc = 0.9839614287119945 rg = 0.1180753714454393 rd = 0.03935845714847978 ra = 0.03935845714847978 rmax = 0.3148676571878383 ropt = 0.03935845714847978 g(rmax) = 0.1507064833125653, g(ropt) = 0.2967587621877231 d(rmax) = 0.3925358395456308, d(ropt) = 0.9037200051227304 cn(rmax) = 4.018198063206267, cn(ropt) = 1.416754202013712 As you can see, using r max as the risk value ensures a much greater profit (300% instead of 40%). This is achieved by a much bigger drawdown (greater than 60% instead of 10%). The change in value of the average yield should be taken into account too. If it is smaller, then the increase of transactional costs will lead to the drop in profit. Hence, the following conclusions:
Use r opt as the risk value in this system. The risk freed at this r max −r opt can be used for adding new systems (diversification).
Appendix to the introductory example.
Below is the text of the r_exmp. mq5 script and numerical results of its work.
the sample 0.05 quantile rd[] equals to 0.021647 for rd = 0.039358 pd = 0.584.
The first line of results tells us that we must half the risk in comparison with the result obtained in the introduction. In this case, if the drawdown exceeds the goal (10%) it will mean that the system is likely to have flaws and it should not be used for trading. The error probability (working system is rejected) in this case will be δ (0.05 or 5%). The second line of the result says that the drawdown in the initial series of deals is smaller that it could be on average. It should be noted that 30 deals may be insufficient for evaluating this system. Therefore, it would be useful to carry out detailed analysis of a larger number of deals and see how this affects the results.
Appendix to the general case.
Below is the r_cmn. mq5 script where we are trying to evaluate from below the n min value and the results of the work of the script:
Sample distribution parameters:
average: 0.322655 variance: 1.419552 asymmetry: 0.990362 median: 0.023030 number of deals: 30 the dlt value: 0.050000 the G0 value: 0.250000.
Approximation by normal distribution:
dlt quantile: -0.03514631247305994; level of significance for G0: 0.3691880511783918.
Approximation by bootstrap:
dlt quantile: -0.0136361; level of significance for G0: 0.3727. minimal number of deals nmin (approximation by normal distribution): no less than 728 the value of the dlt quantile: 0.250022.
It follows from these results that r opt (δ)=0 . This means that our criterion prohibits trading using this system because of the data or requires the history of deals of a greater length. This is even despite the beautiful charts in the first appendix. Bootstrap produced nearly same results as the approximation by normal distribution. This prompts two questions. 1. Why are the results so bad? and 2. How can we improve this system? Let us try to answer them.
The reason is both in the used criterion and in the system itself. Our criterion is too universal. On the one hand, this is very good as we can use it in most cases. On the other hand, it does not take into account not only the system in question but all the systems we consider. For instance, all our systems produce a distribution with a cut left side and some of them in theory can have infinite expectation. This is why, as a rule, all distributions have right skewness and their mean is very slowly converge to a symmetrical normal distribution. The system in our example has such skewed distribution. This is indicated by the skewness ratio or by the displacement of expectation to the right from the median. This is expected from a system following the rule "cut your losses and let your profits run". We require criteria using the information about a certain trading system and about a sequence of asset prices. So, suppositions about prices cannot be done without. These suppositions should not distort the real picture. This means that we should be in the situation of the second variant made of three points discussed at the beginning of the part "General case". This is why we should concentrate on parametric methods going forward. From the computational point of view, they are more difficult and less universal but they can be more precise in each particular case.
So far, we can conclude the following. Losses are caused not only by unexpected changes in the behavior of asset prices (for instance, the change of the trend). This can be caused by noise or volatility characteristic to them. Methods we consider is one of the ways to attempt to separate these reasons and reduce their influence. If this cannot be done for a trading system, such a system is not recommended to be used.
Traduzido do russo por MetaQuotes Software Corp.